এটি একটি ত্রিমাত্রিক জ্যামিতিক চিত্র যা দুটি অভিন্ন সমান্তরাল বহুভুজকে ভূমি এবং পার্শ্বতলগুলোকে সামান্তরিক হিসেবে নিয়ে গঠিত। এর ভূমির বাহুর সংখ্যা অনুসারে এর একটি নির্দিষ্ট নামকরণ করা হয়। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, যদি এর ভূমিতে তিনটি বাহু থাকে, তবে এটি হবে একটি সামান্তরিক। ত্রিভুজাকার প্রিজমচারটি আয়তাকার বাহু, পাঁচটি পঞ্চভুজাকার বাহু, ইত্যাদি।
হাতের বিষয়টি বিশেষভাবে সম্পর্কিত সমস্ত কিছু পেন্টাগোনাল প্রিজমতবে, প্রিজমকে নিরাপদে অধ্যয়ন করতে, এর সূত্রগুলো ব্যাখ্যা করতে এবং জ্যামিতির অনুশীলন ও সমস্যাবলীতে একে শনাক্ত করতে হলে, সাধারণভাবে প্রিজমের সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলো জানা প্রয়োজন।
প্রিজমের সাধারণ বৈশিষ্ট্য
একটি প্রিজম এটি একটি ধরনের পলিহেড্রনঅর্থাৎ, সসীম সংখ্যক সমতল বহুভুজ দ্বারা গঠিত একটি ত্রিমাত্রিক আকৃতি, যেগুলো তল হিসেবে কাজ করে। সকল প্রিজমের একটি সাধারণ গঠন রয়েছে, যা যেকোনো নির্দিষ্ট প্রকারের (ত্রিভুজাকার, চতুর্ভুজাকার, পঞ্চভুজাকার, ইত্যাদি) বিশ্লেষণ করার আগে বোঝা উচিত।
উপাদানগুলি যা প্রিজম তৈরি করে:
- ঘাঁটি দুটি সমান্তরাল এবং সমান বহুভুজ যেগুলো প্রিজমের ভূমি এবং শীর্ষ গঠন করে। বাহুর সংখ্যা বিভিন্ন হতে পারে, এবং ঠিক এই বাহুগুলোর কারণেই প্রিজমের নামকরণ হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি ভূমির পাঁচটি বাহু থাকে, তবে আমরা একে পঞ্চভুজাকার প্রিজম বলি।
- পার্শ্ব মুখ: হয় সামান্তরিক যা নিচের ভিত্তিটিকে উপরের ভিত্তি থেকে পৃথক করে এবং নিচের ভিত্তির প্রতিটি পাশকে উপরের ভিত্তির অনুরূপ পাশের সাথে সংযুক্ত করে।
- উচ্চতা: এটা হল লম্ব দূরত্ব যা দুটি ভূমিকে পৃথক করে থাকে। সমকোণী প্রিজমের ক্ষেত্রে, এটি প্রতিটি পার্শ্ববাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হয়।
- প্রান্তগুলি: ভূমি গঠনকারী বহুভুজগুলোর প্রতিটি বাহুকে বলা হয় ভিত্তির প্রান্তগুলিএবং পার্শ্বীয় তলগুলোর প্রতিটি দিককে আলাদাভাবে বলা হয় পাশের প্রান্তএকত্রে প্রান্তগুলো প্রিজমের 'গঠন' নির্ধারণ করে।
- শীর্ষস্থান: প্রত্যেকটি যেখানে একাধিক প্রান্ত মিলিত হয় একে শীর্ষবিন্দু বলা হয়। একটি প্রিজমের প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে তিনটি তল মিলিত হয়।
প্রিজমের জ্যামিতি ও প্রতীকসাধারণত প্রথমে নিচের ভূমি এবং তারপর উপরের ভূমির নাম উল্লেখ করে এটি প্রকাশ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি পঞ্চভুজাকার প্রিজমে, নিচের ভূমির শীর্ষবিন্দুগুলোকে A, B, C, D, E এবং উপরের ভূমির শীর্ষবিন্দুগুলোকে F, G, H, I, J দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে, যাতে প্রতিটি পার্শ্ববাহু অনুরূপ শীর্ষবিন্দুগুলোর একজোড়াকে যুক্ত করে (A-এর সাথে F, B-এর সাথে G, ইত্যাদি)। এই প্রতীক পদ্ধতিটি খুবই উপযোগী ধার, তল এবং অংশ বর্ণনা করুন যখন আপনি সমস্যার সমাধান করেন।
প্রিজমের শ্রেণিবিন্যাস
একটি প্রিজমকে শ্রেণীবদ্ধ করা হয় কয়েকটি বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে: তাদের ভূমির আকৃতি, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য, পার্শ্বতলগুলোর দিকবিন্যাস এবং ভূমিগুলোর অভ্যন্তরীণ কোণ। এই শ্রেণিবিন্যাসগুলো বোঝা আপনাকে শনাক্ত করতে সাহায্য করবে। কি ধরণের প্রিজম অনুশীলনীতে যেটি আসে এবং আপনার কোন সূত্র প্রয়োগ করা উচিত।
প্রিজমটি এর ঘাঁটির বৈশিষ্ট্য অনুসারে শ্রেণিবদ্ধ করা হয়:
- নিয়মিত: এটি এমন একটি যার ভিত্তি হল একটি নিয়মিত বহুভুজঅর্থাৎ, এমন একটি বহুভুজ যার সব বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং এর অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর পরিমাপও সমান। একটি সুষম পঞ্চভুজাকার প্রিজমের দুটি ভূমিই সুষম পঞ্চভুজ।
- অনিয়মিত: এটি হলো সেটি যার ভিত্তিগুলো দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় ভিন্ন বাহু এবং অভ্যন্তরীণ কোণ সহ বহুভুজ পরস্পরের সাথে। প্রতিটি বাহুর পরিমাপ ভিন্ন হতে পারে এবং অভ্যন্তরীণ কোণগুলো সমান হওয়ার কোনো বাধ্যবাধকতা নেই।
তাদের ভূমির বাহুর সংখ্যার উপর ভিত্তি করে, তাদেরকে নিম্নোক্তভাবে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়:
- ত্রিভুজাকার 3 টি দিক
- চতুর্ভুজাকার 4 দিক
- পেন্টাগোনাল 5 পক্ষ
- হেক্স 6 টি দিক
- হেপাটাগোনাল 7 টি দিক
- অষ্টভুজাকার 8 টি দিক
- 9-পক্ষযুক্ত এনগন বা নোনগন
- দশভুজ ১০টি বাহু…, এবং এভাবেই চলতে থাকে।
সাধারণভাবে, যদি ভূমিটি একটি বহুভুজ হয় উত্তর দিকআমরা একটি বিষয়ে কথা বলব এন-গোনাল প্রিজমআমাদের আলোচ্য নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, N = 5 এবং আমরা পঞ্চভুজাকার প্রিজমটি পাই।
পার্শ্বীয় মুখ অনুসারে এগুলিতে শ্রেণিবদ্ধ করা হয়:
- ডান প্রিজম: তারই তো অনেক আছে। পার্শ্ব মুখ এর ভিত্তিটি আকৃতি দেওয়া হয়েছে। এর পার্শ্বতলগুলো হলো আয়তক্ষেত্রাকার (অথবা কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে বর্গক্ষেত্র) এবং পার্শ্বীয় প্রান্তগুলি হল খাড়া ভূমি বরাবর। এই প্রিজমগুলোতে, উচ্চতা প্রতিটি পার্শ্ববাহুর দৈর্ঘ্যের সমান।
- তির্যক: একটি তির্যক প্রিজমের ভূমির সাপেক্ষে এর পার্শ্বতলগুলো লম্ব হয় না। এর পার্শ্বতলগুলো হলো rhomboids (হেলানো সামান্তরিক)। এদের একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য হলো যে তাদের Altura (ভূমি দুটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব) এর আনত পার্শ্বীয় ধারগুলোর মানের সাথে মিলে যায় না।
তাদের অভ্যন্তরীণ কোণ অনুসারে সেগুলিতে শ্রেণিবদ্ধ করা হয়
কনকভস: একটি প্রিজমকে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে কনকাভো যখন এর অভ্যন্তরীণ কোণগুলো ১৮০° অপেক্ষা বৃহত্তর হয়। এর অনিয়মিত আকৃতির কারণে, যা প্রিজমের ভিতরে একটি ফাটলের মতো দেখায়, যদি এর মধ্য দিয়ে একটি সরলরেখা টানা হয় তবে এটিকে একাধিক বিন্দুতে কাটা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে ভূমিটি একটি অবতল বহুভুজ হয়।
উত্তল: একটি প্রিজম হলো উত্তল যখন এর অভ্যন্তরীণ কোণগুলির পরিমাপ ১৮০° এর কম হয় এবং উপরন্তু, যখন একটি সরলরেখা এর মধ্য দিয়ে যায়, তখন এটি কেবল দুটি বিন্দুতে ছেদ করে। প্রাথমিক জ্যামিতিতে অধ্যয়ন করা বেশিরভাগ প্রিজম, যার মধ্যে অন্তর্ভুক্ত... নিয়মিত পঞ্চভুজাকার প্রিজম, উত্তল।
পেন্টাগোনাল প্রিজম
এখন আমরা পঞ্চভুজাকার প্রিজম সম্পর্কে আরও জানতে প্রস্তুত। সকল প্রিজমের সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলো শনাক্ত করার পর, আমরা বিশেষভাবে এর গভীরে প্রবেশ করব। পেন্টাগোনাল প্রিজমএকটি পঞ্চভুজাকার প্রিজম হলো এমন একটি প্রিজম যার ভূমিগুলো হলো সমান এবং সমান্তরাল পঞ্চভুজ এবং পাঁচটি সামান্তরিক যা এর পার্শ্বতলগুলো গঠন করে।
বহুভুজের দৃষ্টিকোণ থেকে, পঞ্চভুজীয় প্রিজম হলো একটি ৭-পার্শ্বযুক্ত বহুভুজ (২টি পঞ্চভুজ এবং ৫টি পার্শ্বতল)। যদি ভূমিগুলো সুষম পঞ্চভুজ এবং পার্শ্বতলগুলো আয়তক্ষেত্র হয়, তাহলে আমরা এমন একটি কাঠামো নিয়ে কথা বলছি যা সরল নিয়মিত পঞ্চভুজাকার প্রিজমযদি ভূমিগুলো অনিয়মিত হয় অথবা পার্শ্বতলগুলো আনত থাকে, তবে পরিস্থিতি অনুযায়ী এটিকে অনিয়মিত বা তির্যক হিসেবে বিবেচনা করা হবে।
বৈশিষ্ট্য
পঞ্চভুজাকার প্রিজমের নিম্নলিখিত মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলো মুখস্থ রাখা উচিত, কারণ তল, শীর্ষবিন্দু এবং ধার গণনা সংক্রান্ত সমস্যাগুলোতে এগুলো প্রায়শই দেখা যায়:
- ঘাঁটিএটির দুটি সমান্তরাল ও সমান পঞ্চভুজ রয়েছে। এই ভূমিগুলো হলো সঙ্গতিপূর্ণঅর্থাৎ, আকার ও আকৃতিতে অভিন্ন এবং প্রিজমের রূপরেখা নির্ধারণ করে।
- Caraşএর পাঁচটি পার্শ্বতল এবং দুটি ভিত্তি রয়েছে; সব মিলিয়ে আছে সাতটি মুখপার্শ্বতলগুলো সামান্তরিক (প্রিজমটি সমকোণ হলে আয়তক্ষেত্র)।
- উচ্চতা। হয় দুটি ভিত্তির মধ্যে দূরত্বসমকোণী পঞ্চভুজাকার প্রিজমে এটি প্রতিটি পার্শ্ববাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হয়; তির্যক প্রিজমে তা হয় না।
- ভার্টেক্স এগুলো হলো প্রিজমের সেই বিন্দু যেখানে এর তিনটি তল মিলিত হয়; মোট আছে ৭টি শীর্ষবিন্দুনিচের ভূমিতে ৫ এবং উপরের ভূমিতে ৫।
- প্রান্তগুলি। এগুলো হলো সেই অংশ যেখানে প্রিজমের দুটি তল মিলিত হয়; সব মিলিয়ে এতে আছে 15টি প্রান্ত: নিচের ভূমিতে ৫টি, উপরের ভূমিতে ৫টি এবং এদেরকে যুক্তকারী ৫টি পার্শ্বীয় কিনারা।
অনুযায়ী মতে অয়লারের উপপাদ্য যেকোনো উত্তল প্রিজমের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর পরিমাপ ১৮০° এর কম হলে, তার তলের সংখ্যা (C), ধার (A) এবং শীর্ষবিন্দুর (V) মধ্যে একটি পারস্পরিক সম্পর্ক বিদ্যমান।
উত্তল বহুভুজের ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত সম্পর্কটি প্রযোজ্য:
V − A + C = 2
সমতুল্য সূত্র A = C + V − 2 প্রয়োগ করে একটি পঞ্চভুজাকার প্রিজমের ধারের সংখ্যা নির্ণয় করা যায়:
A = 7 + 10 − 2 = 15
এই সম্পর্কটি খুবই উপকারী আপনি সঠিকভাবে গণনা করেছেন কিনা তা যাচাই করুন। কোনো সমস্যার তল, ধার বা শীর্ষবিন্দু। যদি আপনি ইউলারের সূত্রে ডেটা বসিয়ে ২ না পান, তাহলে গণনায় ত্রুটি আছে।
কিভাবে একটি নিয়মিত পেন্টাগোনাল প্রিজমের অঞ্চল গণনা করুন
যখন পঞ্চভুজাকার প্রিজমটি নিয়মিত এবং সোজাএর সুষম পঞ্চভুজাকার ভূমি এবং সমান আয়তাকার পার্শ্বতল রয়েছে। তাই, এর মোট ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা বিশেষভাবে সহজ, কারণ ভূমির সব বাহুর পরিমাপ সমান।
একটি সুষম পঞ্চভুজাকার প্রিজমে আমরা এই মানগুলো নিয়ে কাজ করি:
- L: ভূমি পঞ্চভুজের একটি বাহুর পরিমাপ।
- এপি। (অ্যাপোথেম): পঞ্চভুজের কেন্দ্র থেকে এর যেকোনো বাহু পর্যন্ত সর্বনিম্ন দূরত্ব।
- h: প্রিজমের উচ্চতা (সমকোণী প্রিজমের পার্শ্বপ্রান্তগুলোর দৈর্ঘ্য)।
একটি সুষম পঞ্চভুজাকার প্রিজমের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল:
ক্ষেত্রফল = 5 · L · (ap. + h)
এই রাশিটি ক্ষেত্রফলগুলোর যোগফলকে সংক্ষিপ্ত করে। দুটি ঘাঁটি এছাড়াও এলাকা পাশ:
- সুষম পঞ্চভুজের ভূমির ক্ষেত্রফল: Ab = (5 · L · ap.) / 2.
- দুটি ভূমির ক্ষেত্রফল: 2 · Ab = 5 · L · ap.
- ভূমির পরিধি: পি = ৫ · এল.
- পার্শ্বীয় এলাকা: Al = P · h = 5 · L · h.
যোগ করে পাই: 2 · Ab + Al = 5 · L · ap. + 5 · L · h = 5 · L · (ap. + h), যা হলো পূর্বের সূত্রটি। লক্ষ্য করুন যে, মূল চাবিকাঠিটি এখানেই রয়েছে। ভূমির পরিধিযা অ্যাপোথেম (ভূমি গঠনের জন্য) এবং উচ্চতা (পার্শ্বরেখা গঠনের জন্য) উভয়কেই গুণ করে।
পেন্টাগোনাল প্রিজমের এপি (অ্যাপোথেম) এর মান কীভাবে পাবেন?
অ্যাপোথেম এমন একটি চলক যা অন্যগুলোর মতো সহজে চোখে পড়ে না, কিন্তু পঞ্চভুজটি সুষম হলে এর ভূমির ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য এটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। সৌভাগ্যবশত, আমরা বাহুর সংখ্যা এবং প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে এটি নির্ণয় করতে পারি।
বাহুর সংখ্যা (N) এবং তাদের দৈর্ঘ্য (L) জানা থাকলে, আমরা প্রথমে গণনা করি কেন্দ্রীয় কোণ যা বহুভুজের কেন্দ্র এবং দুটি পরপর শীর্ষবিন্দুর মধ্যে গঠিত হয়:
θ = ৩৬০° / উঃ
উদাহরণ: সুষম পঞ্চভুজের কেন্দ্রস্থ কোণ:
θ = ৩৬০° / ৫ = ৭২°।
এরপর, ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে অ্যাপোথেম নির্ণয় করা হয়। যদি আমরা পঞ্চভুজের কেন্দ্রকে দুটি পরপর শীর্ষবিন্দুর সাথে যুক্ত করে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ আঁকি, তবে এটিকে উচ্চতা দিয়ে ভাগ করলে L/2 ভূমি এবং θ/2 সূক্ষ্মকোণ বিশিষ্ট একটি সমকোণী ত্রিভুজ পাওয়া যায়। এই ত্রিভুজে, অ্যাপোথেম হলো... সংলগ্ন দিক θ/2 কোণে।
সুতরাং, আমরা ব্যবহার করতে পারি:
ap. = (L / 2) / tan(θ / 2)
অথবা মূল পাঠে যেভাবে লেখা আছে সেভাবে:
ap = L / (2 × tan (θ / 2))
বিস্তারিত উদাহরণ: একটি পঞ্চভুজাকার প্রিজমের প্রতিটি বাহুর পরিমাপ ২০ সেমি এবং উচ্চতা ৩০ সেমি। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যাক। আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে, একটি সুষম পঞ্চভুজের কেন্দ্রীয় কোণের পরিমাপ ৭২°। এর অ্যাপোথেম নির্ণয় করা যাক:
θ = 72°
ap = L / (2 × tan (θ / 2))
ap = 20 / (2 × ট্যাং (72 / 2))
ap = 20 / (2 × tan (36°))
ap = 20 / (2 × 0,73) (tang(36°) ≈ 0,73 এর আনুমানিক মান)
ap = 20 / 1,46
এপি ≈ ১৩.৬৯ সেমি
এখন এর মোট ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার জন্য আমাদের কাছে সমস্ত তথ্য রয়েছে:
ক্ষেত্রফল = 5 × দৈর্ঘ্য × (তলদেশ + উচ্চতা)
ক্ষেত্রফল = ৫ × ২০ × (১৩.৬৯ + ৩০)
ক্ষেত্রফল = ৩.১৪১৬ × ৫
ক্ষেত্রফল ≈ ৪৩৬৯ বর্গ সেমি
উল্লেখ্য যে এই ফলাফলটি প্রতিনিধিত্ব করে মোট এলাকা প্রিজমের (পার্শ্বীয় ক্ষেত্রফল + দুটি ভূমি)। অনেক অনুশীলনীতে আপনাকে পার্শ্বীয় ক্ষেত্রফল এবং ভূমিগুলোর ক্ষেত্রফল আলাদাভাবে জিজ্ঞাসা করা হবে; সেক্ষেত্রে কেবল পূর্বে উল্লিখিত সূত্রগুলো ব্যবহার করুন:
- পার্শ্বীয় এলাকা: H = 5 · L · h = 5 · 20 · 30 = 3000 সেমি².
- দুটি ভূমির ক্ষেত্রফল: 2 Ab = 4369 − 3000 = 1369 সেমি².
একটি অনিয়মিত পেন্টাগোনাল প্রিজমের ক্ষেত্র
যখন ভূমিটি একটি সুষম পঞ্চভুজ না হয়ে, ভিন্ন ভিন্ন দৈর্ঘ্য ও কোণবিশিষ্ট একটি পাঁচ-পার্শ্বযুক্ত বহুভুজ হয়, তখন প্রিজমটি হয় একটি অনিয়মিত পঞ্চভুজাকার প্রিজমএক্ষেত্রে, ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য অতিরিক্ত পদক্ষেপের প্রয়োজন হয়, কারণ আমরা আর অ্যাপোথেমযুক্ত সুষম পঞ্চভুজের সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি না।
দেওয়া আছে যে একটি অনিয়মিত পঞ্চভুজাকার প্রিজমের ভূমি দুটি অনিয়মিত পঞ্চভুজ, এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা প্রয়োজন। অনিয়মিত পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল (আব), তার ঘের (পিবি) এবং Altura এরপর প্রিজমটির ক্ষেত্রফল গণনা করা হবে।
একটি অনিয়মিত পঞ্চভুজাকার ডান প্রিজমের ক্ষেত্রের সূত্রটি হ'ল:
প্রিজমের ক্ষেত্রফল = 2 · Ab + Pb · h
বেস অনিয়মিত পেন্টাগনের অঞ্চল (আব) এর মাধ্যমে পাওয়া যায় ত্রিভুজায়ন পদ্ধতিএর অর্থ হলো, এটিকে ছোট ছোট ত্রিভুজাকার আকৃতিতে ভাগ করে তাদের ক্ষেত্রফল গণনা করা এবং এর ফলে সেগুলোকে একসাথে যোগ করে পঞ্চভুজটির মোট ক্ষেত্রফল আরও সহজে পাওয়া যায়।
বাস্তবে, প্রয়োগ করতে ত্রিভুজায়ন পদ্ধতি আপনি এই ধারণাগত ধাপগুলো অনুসরণ করুন:
- পঞ্চভুজটির একটি শীর্ষবিন্দুকে এর সন্নিহিত শীর্ষবিন্দুগুলো ছাড়া বাকি সবগুলোর সাথে যুক্ত করে চিত্রটিকে বিভক্ত করুন। তিনটি ত্রিভুজ.
- উপযুক্ত সূত্র ব্যবহার করে প্রতিটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন (উদাহরণস্বরূপ, ভূমি × উচ্চতা / ২ বা সূত্র ডি Herón যদি আপনি বাহুগুলোর তিনটি দৈর্ঘ্য জানেন)
- অনিয়মিত পঞ্চভুজটির মোট ক্ষেত্রফল বের করার জন্য ত্রিভুজগুলোর ক্ষেত্রফল যোগ করুন।
অনিয়মিত ভূমিবিশিষ্ট পঞ্চভুজের (Pb) পরিসীমা এর পাঁচটি বাহুর দৈর্ঘ্য যোগ করে এটি পাওয়া যায়। এই মানটি গণনা করার জন্য অপরিহার্য। পার্শ্বীয় এলাকাযেহেতু প্রতিটি পার্শ্বতলের ভূমি হলো এই বাহুগুলোর একটি এবং উচ্চতা হলো প্রিজমের উচ্চতা।
একটি তির্যক পেন্টাগোনাল প্রিজমের ক্ষেত্র
এই ধরণের প্রিজমের ক্ষেত্রফল গণনার সূত্রটি সমকোণী পঞ্চভুজাকার প্রিজমের থেকে ভিন্ন, কারণ পার্শ্বতলগুলি আনত এবং সেগুলো আর কেবল প্রিজমের ভূমির বাহুর সমান ভূমি এবং প্রিজমের উচ্চতার সমান উচ্চতাবিশিষ্ট আয়তক্ষেত্র গঠন করে না।
ভূমিগুলোর ক্ষেত্রফল একটি সমকোণী প্রিজমের মতোই গণনা করা হয় (পঞ্চভুজটি সুষম না বিষম, তার উপর নির্ভর করে)। পার্থক্যটি হলো এর আনত বাহুগুলোতে।
একটি তির্যক পঞ্চভুজাকার প্রিজমের পার্শ্বীয় ক্ষেত্রফল এর পরিমাপের সাথে সম্পর্কিত। পাশের প্রান্ত এবং এর পরিধি প্রিজম সোজা বিভাগ.
প্রিজমের প্রতিটি পার্শ্ববাহুর সাথে ৯০° কোণ সৃষ্টিকারী একটি সমতলের ছেদবিন্দু হলো প্রিজম সোজা বিভাগঅর্থাৎ, প্রিজমটিকে এর পার্শ্বপ্রান্তের সাথে লম্বভাবে কেটে আড়াআড়িভাবে বিভক্ত করলে যে সমতল ভূমিটি দেখা যায়, সেটিই হলো এই সমতল ভূমি।
এর গ্রাফিকাল উপস্থাপনা সন্ধান করতে একটি তির্যক প্রিজম এর সরাসরি বিভাগ যেকোনো বস্তুর ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি অনুসরণ করা যেতে পারে: সেট স্কয়ারটিকে এর একটি পার্শ্বীয় প্রান্তের বিপরীতে রাখুন এবং একটি ৯০° কোণ তৈরি করে এমন একটি রেখা আঁকুন যা সংলগ্ন প্রান্ত পর্যন্ত পৌঁছায়, এবং একইভাবে অন্যান্য প্রান্তগুলোর ক্ষেত্রেও একই কাজ করুন। এই পদ্ধতিটি সম্পন্ন হয়ে গেলে, প্রস্থচ্ছেদ গঠনকারী পৃষ্ঠটিকে সমতলে কল্পনা করা যায়।
ক্ষেত্রফল = 2 · Ab + Psr · a
যেখানে Ab বেস এর অঞ্চল, পিএসআর হয় সরল অংশের পরিধি প্রিজম এবং a এটি একটি পাশের প্রান্ত (দুটি ভূমির মধ্যবর্তী আনত দৈর্ঘ্য)।
একটি সরল অংশের পরিসীমা নির্ণয় করতে, এর যেকোনো একটি বাহুর উপর ৯০° কোণে একটি সমকোণ আঁকুন, সেই বাহু থেকে এর সমান্তরাল কোনো বাহুর সাথে ছেদবিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব মাপুন এবং সেই দূরত্বটিকে পাঁচবার যোগ করুন। এই দূরত্বটিই হলো সরল অংশটির বাহুর দৈর্ঘ্য, এবং একে ৫ দিয়ে গুণ করলে আপনি পাবেন... পিএসআর পঞ্চভুজাকার প্রিজমের ক্ষেত্রে।
পেন্টাগোনাল প্রিজমের আয়তন
গণনা করা আয়তন সমকোণী এবং তির্যক উভয় প্রকার পঞ্চভুজীয় প্রিজমের ক্ষেত্রে, সকল প্রকার প্রিজমের সাধারণ সূত্রটি প্রযোজ্য: ভূমির ক্ষেত্রফল (Ab) কে প্রিজমের পরিমাপ দ্বারা গুণ করুন। Altura (জ)।
আয়তন = Ab · h
যদি পঞ্চভুজাকার প্রিজমটি সুষম হয়, তবে আমরা Ab-এর জায়গায় এর নির্দিষ্ট সংকেতটি বসাতে পারি:
Ab = (5 · L · ap) / 2
তাহলে পরিমাণটি হবে:
আয়তন = (5 · L · ap / 2) · h
মনে রাখবেন যে একটি ডান প্রিজম উচ্চতার পরিমাপ পার্শ্ব প্রান্তের পরিমাপের সমান, যেখানে একটি তির্যক প্রিজম প্রিজমের প্রকারভেদ নির্বিশেষে, এর উচ্চতা এবং পার্শ্ববাহুর দৈর্ঘ্য এক হয় না। এই দুটি ধারণাকে গুলিয়ে না ফেলার ব্যাপারে সতর্ক থাকা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এখানে একটি ভুল আয়তন গণনার ফলাফলকে সম্পূর্ণরূপে পরিবর্তন করে দেয়।
অনেক প্রয়োগমূলক অনুশীলনীতে আপনাকে, উদাহরণস্বরূপ, একটি পঞ্চভুজাকার প্রিজম-আকৃতির পাত্রের ধারণক্ষমতা অথবা এটি তৈরি করতে প্রয়োজনীয় উপকরণের পরিমাণ গণনা করতে বলা হতে পারে। এই ধরনের ক্ষেত্রে:
- আপনি ব্যবহার করেন আয়তন একে ধারণক্ষমতার (লিটার, ঘনমিটার, ইত্যাদি) সাথে সম্পর্কিত করতে।
- আপনি ব্যবহার করেন মোট এলাকা উপাদান (কার্ডবোর্ড, ধাতু, প্লাস্টিক...) দিয়ে কতটা পৃষ্ঠতল আবৃত করা উচিত তা জানার জন্য।
কীভাবে একটি সমকোণী নিয়মিত পঞ্চভুজাকার প্রিজম তৈরি করবেন
কাগজ বা কার্ডবোর্ডে একটি সমকোণী সুষম পঞ্চভুজাকার প্রিজম আঁকতে হলে, প্রথমে পঞ্চভুজের জ্যামিতি সম্পর্কে কিছু তথ্য জেনে রাখা সহায়ক হয়:
θint = 108° হল অভ্যন্তরীণ কোণ যা ভূমি পঞ্চভুজের দুটি বাহুর মধ্যে গঠিত হয় (একটি সুষম পঞ্চভুজের জন্য যা একটি নির্দিষ্ট পরিমাপ)।
L = পঞ্চভুজের বাহু
H = প্রিজমের উচ্চতা
পেন্টাগোনাল বেস স্ট্রোক
প্রিজম আঁকা শুরু করার আগে, আপনাকে এর ভিত্তিগুলো নির্ধারণ করতে হবে। একটি সহজ এবং খুব বেশি প্রযুক্তিগত নয় এমন উপায়ে, আমি ব্যাখ্যা করব কীভাবে শুধুমাত্র একটি ব্যবহার করে একটি সুষম পঞ্চভুজ চিত্র আঁকতে হয়। রুলার, সেট স্কয়ার এবং প্রোটেক্টর.
- একটি সরলরেখা আঁকুন যা আপনার শুরুর বিন্দু হিসেবে কাজ করবে (চিত্র ১)। খেয়াল রাখবেন, রেখাটি যেন পঞ্চভুজের প্রতিটি বাহুর কাঙ্ক্ষিত দৈর্ঘ্যের চেয়ে সামান্য লম্বা হয়, যাতে আপনি স্বাচ্ছন্দ্যে কাজ করতে পারেন।
- আপনার পঞ্চভুজের বাহুগুলোর কাঙ্ক্ষিত দৈর্ঘ্য, রেখা (ab) (চিত্র ২) চিহ্নিত করুন। এটিই হবে প্রথম প্রান্ত পঞ্চভুজাকার ভূমির।
- প্রোটেক্টরের সাহায্যে, “বিন্দুটির উপর রেখেaএবং বাম দিকে, ১০৮° কোণটি খুঁজুন। 'a' বিন্দু এবং প্রাপ্ত কোণটির ছেদবিন্দুর মধ্যে একটি রেখা আঁকুন এবং তার উপর পঞ্চভুজের বাহুগুলোর জন্য নির্বাচিত পরিমাপটি (রেখা ac) চিহ্নিত করুন (চিত্র ৩)। এটি আপনাকে দ্বিতীয় বাহুটি দেবে।
- b বিন্দু থেকে শুরু করে ডানদিকে এগিয়ে অপর বাহুটি (bd রেখা) খুঁজে বের করার জন্য আগের পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি করুন (চিত্র ৪)। মনে রাখবেন, বাহুর দৈর্ঘ্য L সবসময় একই রাখতে হবে, যাতে পঞ্চভুজটি সুষম হয়।
- এরপর, “c” বিন্দুতে মনোযোগ দিন, সর্বদা 108° কোণ তৈরির লক্ষ্য রাখুন এবং (ce রেখাটি) আঁকুন (চিত্র 5)। আবার একই দৈর্ঘ্য L চিহ্নিত করুন।
- অবশেষে, অনুপস্থিত বাহুটি গঠনকারী বিন্দুগুলো সংযুক্ত করুন। এতে স্বয়ংক্রিয়ভাবে ১০৮° কোণ তৈরি হবে (চিত্র ৬)। যদি আপনি প্রোটেক্টর এবং রুলার নির্ভুলভাবে ব্যবহার করে থাকেন, তবে পঞ্চভুজটি সুষম হবে।
এই জ্যামিতিক চিত্রটি আঁকার জন্য আরও প্রযুক্তিগত এবং সুনির্দিষ্ট পদ্ধতি রয়েছে (উদাহরণস্বরূপ, পরিবৃত্তের উপর ভিত্তি করে কম্পাসের সাহায্যে অঙ্কন), কিন্তু এখানে আমি এটি শুধুমাত্র ব্যবহার করে একটি সহজ উপায়ে ব্যাখ্যা করছি। মৌলিক অঙ্কন সরঞ্জাম.
আপনার প্রিজম নির্মাণের সাফল্য মূলত নির্ভর করবে এর ভিত্তিগুলির বিন্যাসে নির্ভুলতাকোনো একটি বাহুর কোণ বা দৈর্ঘ্যে সামান্য ত্রুটির কারণে পরবর্তীতে প্রিজমের তলগুলো সঠিকভাবে জোড়া নাও লাগতে পারে।
আপনার পঞ্চভুজাকার ভিত্তি নির্মাণের নির্ভুলতা নির্ভর করবে আপনার দক্ষতা এবং আমার প্রস্তাবিত পরিমাপের সরঞ্জামগুলো—রুলার, সেট স্কয়ার ও প্রোটেক্টর—ব্যবহারের জ্ঞানের উপর। সময় নিয়ে সাবধানে প্রতিটি অংশ পরিমাপ করুন এবং কোণগুলো নির্ভুলভাবে চিহ্নিত করুন।
প্রিজম ট্রেস
একবার পঞ্চভুজাকার ভিত্তিটি তৈরি হয়ে গেলে, আপনি নকশা করার কাজে এগিয়ে যেতে পারেন। ফ্ল্যাট উন্নয়ন প্রিজমটির, যেটি হলো সেই আকৃতি যা আপনি কেটে বের করবেন এবং ভাঁজ করে ত্রিমাত্রিকভাবে তৈরি করবেন।
- একটি লম্বা সরলরেখা আঁকুন যা পার্শ্বীয় বিস্তার আঁকা শুরু করার ভিত্তি হিসেবে কাজ করবে।
- ঐ রেখার উপর, পরিমাপ (L) চিহ্নটি পরপর পাঁচবার চিহ্নিত করুন। এই পাঁচটি চিহ্ন প্রতিনিধিত্ব করে পাঁচটি পার্শ্বতলের প্রস্থ.
- প্রতিটি বিন্দুর উপর লম্বভাবে (H) উচ্চতা বিশিষ্ট উল্লম্ব রেখা আঁকুন যা প্রান্তগুলো নির্দেশ করে। এর ফলে আপনি পাঁচটি সংলগ্ন আয়তক্ষেত্র পাবেন।
- সমস্ত বিন্দুগুলোকে একটি সরলরেখা দিয়ে সংযুক্ত করলে আপনি একটি বড় আয়তক্ষেত্র পাবেন যা পাঁচটি সমান ও সমান্তরাল অংশে বিভক্ত; এই অংশগুলো প্রত্যেকটিকে প্রতিনিধিত্ব করে। প্রিজমের পার্শ্বতল.
- কেন্দ্রীয় আয়তক্ষেত্র বা তলে, অথবা আপনার পছন্দের যেকোনো তলে, উপরে এবং নীচে পঞ্চভুজাকার ভিত্তিটি আঁকুন বা যোগ করুন। নিখুঁতভাবে খাপ খাওয়া নিশ্চিত করতে, প্রথমে এটি আঁকা এবং তারপর প্রিজমটির আকৃতি আঁকার জন্য এটিকে ভিত্তি হিসেবে ব্যবহার করা অপরিহার্য।
- যোগ করা ট্যাব একটি বাদে পার্শ্বীয় তলগুলোর সব দিকে। এই ট্যাবগুলোই আপনি প্রিজমটি জোড়া লাগানোর জন্য ব্যবহার করবেন; এগুলোতে আঠা লাগিয়ে সংলগ্ন তলগুলোর সাথে জুড়ে দিতে হবে।
- সাবধানে নকশাটি কেটে নিন এবং ট্যাবগুলোতে আঠা লাগান। ভাঁজ করার আগে, কাঁচির ভোঁতা দিক বা রুলার দিয়ে সমস্ত রেখা বরাবর হালকা দাগ কেটে নিন, যাতে কাগজ না ছিঁড়ে কিনারাগুলো সহজে ভাঁজ করা যায়।
এই ধরণের নির্মাণ কাজ খুবই উপকারী একটি পঞ্চভুজাকার প্রিজম অধ্যয়ন করুনকারণ এটি আপনাকে কাগজের উপরিতলের তল ও ভাঁজগুলোকে ভাঁজ করার পর প্রাপ্ত ত্রিমাত্রিক আকৃতির সাথে দৃশ্যত মেলাতে সাহায্য করে। এর ফলে আপনি আরও ভালোভাবে বুঝতে পারবেন এর ভূমিগুলো কোথায়, এর কয়টি পার্শ্বতল আছে, কেন এতে ১৫টি ধার রয়েছে এবং শীর্ষবিন্দুগুলো কীভাবে যুক্ত।
যখন আপনি এই ধারণাগুলো—প্রিজমের প্রকারভেদ, উপাদানসমূহ (তল, ধার, শীর্ষবিন্দু), ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সূত্র এবং লেখচিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপনা—আয়ত্ত করেন, তখন একটি পঞ্চভুজাকার প্রিজম নিয়ে অধ্যয়ন আর কোনো বিমূর্ত বিষয় থাকে না, বরং এটি একটি সুস্পষ্ট অনুশীলনে পরিণত হয়, যেখানে প্রতিটি জ্যামিতিক তথ্যের একটি বাস্তব ও দৃশ্যমান অর্থ থাকে।