The বাস্তব সংখ্যার গঠন সর্বাধিক ব্যবহৃত সংখ্যা সেট গণিতে এবং দৈনন্দিন জীবনে। এর মধ্যে রয়েছে মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যা এবং গণনা, পরিমাপ বা অর্থ প্রদানের জন্য আমরা যে সংখ্যাগুলি ব্যবহার করি তা থেকে শুরু করে ক্যালকুলাস বা পদার্থবিদ্যার মতো উন্নত ধারণাগুলিতে উপস্থিত সংখ্যা পর্যন্ত। যেকোনো সংখ্যা যা একটিতে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে অবিচ্ছিন্ন সংখ্যারেখা, পূর্ণ, ভগ্নাংশ অথবা অসীম দশমিক সহ, বাস্তব সংখ্যার অংশ।
এই গোষ্ঠীটি ঐতিহাসিকভাবে প্রয়োজন থেকে উদ্ভূত হয়েছিল সঠিকভাবে বর্ণনা করুন সেই সময়ের জানা সংখ্যা দিয়ে প্রকাশ করা যেত না এমন পরিমাণ। "খুব ছোট" বা "প্রায় শূন্য" এর মতো অস্পষ্ট অভিব্যক্তিগুলি গাণিতিক বিশ্লেষণের কঠোর বিকাশের জন্য অপর্যাপ্ত প্রমাণিত হয়েছিল, যার ফলে সীমা এবং বাস্তব সংখ্যার ধারণাগুলির আনুষ্ঠানিকীকরণ ঘটে। অনেক ইতিহাসবিদ ধারণাটির পরিমার্জন এবং আনুষ্ঠানিকীকরণের প্রক্রিয়াগুলিকে দুটির মধ্যে স্থাপন করেন। ১৫শ এবং ১৭শ শতাব্দীযদিও আধুনিক এবং কঠোর সংজ্ঞাটি পরে একত্রিত করা হয়েছিল।
যদিও মিশরের মতো প্রাচীন সভ্যতাগুলি ইতিমধ্যেই ব্যবহার করত ভগ্নাংশগ্রীকরাই "সংখ্যা" ধারণাটি আরও দার্শনিকভাবে অধ্যয়ন করেছিল। পিথাগোরিয়ান স্কুল যুক্তি দিয়েছিল যে "সবকিছুই সংখ্যা", এবং নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য (যেমন একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণ) প্রকাশ করার চেষ্টা করার সময় তারা আবিষ্কার করেছিল যে সমস্ত রাশি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা সম্ভব নয়।এ থেকে অমূলদ সংখ্যার উৎপত্তি হয়, যা পরবর্তীতে বাস্তব সংখ্যার সেট সম্পূর্ণ করবে।
বাস্তব সংখ্যা কী এবং কীভাবে তাদের প্রতিনিধিত্ব করা হয়?
বাস্তব সংখ্যাগুলিকে সংজ্ঞায়িত করা হয় বাস্তব সংখ্যারেখার একটি বিন্দুর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ সমস্ত সংখ্যাএই রেখাটি বাম (ঋণাত্মক মান) এবং ডান (ধনাত্মক মান) পর্যন্ত সীমাহীনভাবে প্রসারিত, যার মধ্যে শূন্য, ভগ্নাংশ, সসীম দশমিক এবং অসীম পুনরাবৃত্তি এবং অসীম অ-পুনরাবৃত্ত দশমিক অন্তর্ভুক্ত।
এই সেটটি সাধারণত অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয় R বা প্রতীক ℝআনুষ্ঠানিকভাবে, বাস্তব সংখ্যার সেটকে দুটি প্রধান উপসেটের মিলন হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে: মূলদ সংখ্যা (Q) এবং অমূলদ সংখ্যা (I)। মানে ℝ = প্রশ্ন ∪ আমি.
বাস্তব সংখ্যার উদাহরণ হল: 5, 0, −9, 3/4, −7/2, 3,45, 0,333… (1/3), √2, √10, π, eআরও অনেক কিছুর মধ্যে। একটি সুনির্দিষ্ট বিন্দুর মাধ্যমে তাদের সকলকে বাস্তব সংখ্যারেখায় অবস্থিত করা যেতে পারে।
অধিকন্তু, বাস্তব সংখ্যাগুলি হল একটি জটিল সংখ্যার উপসেটজটিল সংখ্যাগুলিকে a + bi হিসাবে উপস্থাপন করা হয়, যেখানে a এবং b হল বাস্তব সংখ্যা এবং ei হল কাল্পনিক একক (−1 এর বর্গমূল)। যখন b = 0, তখন জটিল সংখ্যা a + 0i একটি বাস্তব সংখ্যার সাথে মিলে যায়, তাই প্রতিটি বাস্তব সংখ্যাকে একটি শূন্য কাল্পনিক অংশ সহ একটি জটিল সংখ্যা হিসাবে দেখা যেতে পারে।
তাদের সংখ্যা অনুসারে আসল সংখ্যার শ্রেণিবদ্ধকরণ
বাস্তব সংখ্যার শ্রেণীবিভাগ সাধারণত কয়েকটি নেস্টেড উপসেটে বিভক্ত করা হয়। সবচেয়ে সাধারণ হল প্রাকৃতিক সংখ্যা, গোটা, যুক্তিসঙ্গত e যুক্তিহীনবৃহৎ পরিসরে, ℝ এর মধ্যে আমরা দুটি বৃহৎ গ্রুপ দেখতে পাই: যুক্তিসঙ্গত e যুক্তিহীনএবং মূলদ সংখ্যার মধ্যে, স্বাভাবিক, পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ সংখ্যা রয়েছে।
1. যুক্তিযুক্ত সংখ্যা
এটি বলা হয় মূলদ সংখ্যা যাদেরকে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে তাদের সকলের কাছে দুটি পূর্ণসংখ্যার ভাগফলঅর্থাৎ, একটি ভগ্নাংশ p/q হিসেবে যেখানে p এবং q হল পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0। এই সেটটি অক্ষর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় Qমূলদ সংখ্যার মধ্যে রয়েছে ধনাত্মক সংখ্যা, ঋণাত্মক সংখ্যা এবং শূন্যঅতএব, তারা বিভিন্ন ধরণের মাত্রা কভার করে।
একটি মূলদ সংখ্যাকে ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা যেতে পারে, তবে এটি এইভাবেও দেখা যেতে পারে সঠিক দশমিক (উদাহরণস্বরূপ 3,5), বিশুদ্ধ পুনরাবৃত্তি দশমিক (০.৭৭৭৭…) অথবা মিশ্র পুনরাবৃত্তি দশমিক (২.৫৮৩৩৩…)। এই সকল ক্ষেত্রেই সর্বদা পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ হিসেবে একটি উপস্থাপনা স্বীকার করা হয়।
মূলদ সংখ্যা উভয়কেই অন্তর্ভুক্ত করে গোটা Como ভগ্নাংশীয়অতএব, যেকোনো পূর্ণসংখ্যা (−3, 0, 5…)ও মূলদ, কারণ এটি p/1 হিসাবে লেখা যেতে পারে। এর মানে হল ℤ হল Q এর একটি উপসেট.
মূলদ সংখ্যা আমাদের সেটটি না রেখেই ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে দেয় যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ (শূন্য দ্বারা ভাগ ব্যতীত)। অতএব, Q কে বলা হয় বন্ধ এই অপারেশনগুলির জন্য।
ক) পূর্ণসংখ্যা
The সংখ্যায় প্রবেশ দ্বারা গঠিত সেট কি প্রাকৃতিক সংখ্যা, আপনার নেতিবাচক বিপরীত এবং শূন্যএগুলি অক্ষর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় Z এবং …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … এর মতো মান অন্তর্ভুক্ত করুন।
একটি সংখ্যারেখায়, ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলি এ প্রদর্শিত হয় শূন্যের ডানদিকে, শূন্য দখল করে কেন্দ্রীয় বিন্দু এবং ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলি এ স্থাপন করা হয় বামএই বিন্যাসটি তাদের আকারের সহজ তুলনা করার সুযোগ করে দেয়: ডানদিকে আরও দূরে, সংখ্যা যত বেশি হবে.
- তারা বলা হয় প্রাকৃতিক সংখ্যা যার জন্য আমরা ব্যবহার করি উপাদান গণনা করুন অথবা ক্রম নির্দেশ করে (1, 2, 3, …)। এগুলি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং সাধারণত N অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
- El শূন্য প্রতিনিধিত্ব করে a শূন্য মানএকটি শূন্য যখন একা থাকে তখন তার কোন মান যোগ হয় না, কিন্তু একটি সংখ্যায় এর অবস্থান তার মান সম্পূর্ণরূপে পরিবর্তন করে। একটি অঙ্কের ডানদিকে একটি শূন্য তার মানকে দশ দিয়ে গুণ করে (2 দিয়ে 20 হয়), যেখানে বাম দিকে এটি সংখ্যাটিকে পরিবর্তন করে না (02 এর সমান 2)।
- The negativeণাত্মক পূর্ণসংখ্যা তারা প্রাকৃতিক পরিস্থিতির বিপরীত পরিস্থিতির প্রতিনিধিত্ব করে, যেমন দায়, উপশূন্য তাপমাত্রা o একটি রেফারেন্সের নীচের স্তরতাদের নামকরণের জন্য, "মাইনাস" শব্দটি সংখ্যার আগে বসানো হয়: "মাইনাস চার" লেখা হয় −4।
পূর্ণসংখ্যাগুলি এর অধীনে বন্ধ করা হয় যোগ, বিয়োগ এবং গুণদুটি পূর্ণসংখ্যার মধ্যে ক্রিয়া সর্বদা আরেকটি পূর্ণসংখ্যার ফলাফল দেয়। তবে, দুটি পূর্ণসংখ্যার ভাগের ফলে এমন একটি সংখ্যা তৈরি হতে পারে যা একটি পূর্ণসংখ্যা নয় (উদাহরণস্বরূপ, 3/4), তাই এগুলি ভাগের অধীনে বন্ধ করা হয় না।
খ) ভগ্নাংশ
মূলদ সংখ্যার মধ্যে রয়েছে ভগ্নাংশ সংখ্যা, যার উৎপত্তি বিতরণ সমস্যা সমাধান করা যখন প্রাকৃতিক সংখ্যার ভাগ পূর্ণসংখ্যার ফলাফল দেয়নি।
একটি ভগ্নাংশ সংখ্যা হল একটি রাশি যা নির্দেশ করে যে এক রাশির দ্বারা অন্য রাশির বিভাজন. এটি একটি নিয়ে গঠিত সংখ্যা (ভাগ করা পরিমাণ) এবং একটি হর (এটি কত ভাগে বিভক্ত), একটি অনুভূমিক বা তির্যক দণ্ড দ্বারা পৃথক করা।
যদিও প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে ১ এর হর সহ একটি ভগ্নাংশ হিসেবে দেখা যেতে পারে, এই অংশে এর মধ্যে বিশেষ পার্থক্য করা হয়েছে সঠিক এবং অপ্রকৃত ভগ্নাংশ:
- The সঠিক ভগ্নাংশ এগুলো হলো সেইসব যেখানে লব হল নাবালক হর অপেক্ষা। তারা পরিমাণ প্রতিনিধিত্ব করে একের চেয়ে ছোট, উদাহরণস্বরূপ 3/5।
- The অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ একটি লব আছে এর চেয়ে বড় বা সমান হর অপেক্ষা, যা একটি পরিমাণ নির্দেশ করে একের চেয়ে বড় বা সমান, যেমন ৭/৪ অথবা ৫/৫।
অধিকন্তু, অনেক মূলদ সংখ্যাকে এভাবেও লেখা যেতে পারে সঠিক বা পুনরাবৃত্ত দশমিক সংখ্যাসুতরাং, ০.২৫ এর মতো একটি সংখ্যা ১/৪ (সঠিক দশমিক) এর সমতুল্য, যেখানে ০.৩৩৩… হল ১/৩ (বিশুদ্ধ পর্যায়ক্রমিক দশমিক) এর সমতুল্য।
2. অযৌক্তিক সংখ্যা
The অমূলদ সংখ্যা তারাই সেই দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ হিসেবে প্রকাশ করা যাবে না।এর দশমিক উপস্থাপনা সর্বদা অসীম এবং অ-পর্যায়ক্রমিক: দশমিক সংখ্যাগুলি একটি নির্দিষ্ট প্যাটার্নে পুনরাবৃত্তি না করেই চলতে থাকে।
ক্লাসিক উদাহরণ হল সংখ্যা π (একটি পরিধির দৈর্ঘ্য এবং তার ব্যাসের মধ্যে সম্পর্ক), সংখ্যা ই (প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি), সোনালী অনুপাত φ অথবা মৌলিক সংখ্যার মূল যা নিখুঁত বর্গ নয়, যেমন √2, √3, √5, √7, ইত্যাদি।
ঐতিহাসিকভাবে, অমূলদ সংখ্যার উদ্ভব ঘটে যখন পিথাগোরাসের একজন শিষ্য ১ বাহুর দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণকে ভগ্নাংশ হিসেবে প্রকাশ করার চেষ্টা করেন, আবিষ্কার করেন যে p এবং q এমন দুটি পূর্ণসংখ্যা ছিল না যে p/q = √2পিথাগোরিয়ান স্কুলের প্রাথমিক প্রতিরোধ সত্ত্বেও, এই আবিষ্কারটি দেখায় যে মূলদ সংখ্যার সেট সমস্ত জ্যামিতিক মাত্রা বর্ণনা করার জন্য যথেষ্ট ছিল না।
অযৌক্তিক প্রাণীদের দেখা যেতে পারে বাস্তব সংখ্যার মধ্যে মূলদ সংখ্যার পরিপূরকঅর্থাৎ, যদি আমরা Q কে মূলদ সংখ্যার সেট এবং ℝ কে বাস্তব সংখ্যার সেট বলি, তাহলে অমূলদ সংখ্যার সেটকে এভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে ℝ − প্রশ্ন: সমস্ত বাস্তব সংখ্যা যা মূলদ নয়।
অধিকন্তু, দুটি গুরুত্বপূর্ণ ধরণের অমূলদ সংখ্যা আলাদা করা যায়: বীজগণিত y অলৌকিক.
- The বীজগণিতীয় সংখ্যা এগুলো কি সমাধান? কিছু বীজগণিতীয় সমীকরণ পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ। উদাহরণস্বরূপ, √2 হল অমূলদ এবং বীজগণিতীয়, কারণ এটি x² − 2 = 0 এর একটি সমাধান।
- The অতিক্রান্ত সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ কোনও বীজগণিতীয় সমীকরণের সমাধান হিসাবে এগুলি পাওয়া যায় না। এগুলি একটি সীমিত সংখ্যক মূল দ্বারা প্রকাশ করা হয় না এবং এর দশমিক সংখ্যা কোন স্বীকৃত প্যাটার্ন অনুসরণ করে নাএর মধ্যে রয়েছে π এবং e।
বাস্তব সংখ্যার মৌলিক বৈশিষ্ট্য
বাস্তব সংখ্যার সেট আমাদেরকে এর ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে দেয় যোগ এবং গুণ গণনা এবং গাণিতিক যুক্তি সহজতর করে এমন বৈশিষ্ট্যের একটি সিরিজ পূরণ করে। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণগুলির মধ্যে রয়েছে লক, লা পরিবর্তনশীলতা, লা সহযোগীতা, লা নিরপেক্ষ উপাদানের অস্তিত্ব এবং বিপরীতের অস্তিত্ব.
লক
এর সম্পত্তি লক নির্দেশ করে যে দুটি বাস্তব সংখ্যার যোগফল বা গুণফল সর্বদা অন্য একটি বাস্তব সংখ্যাযদি a এবং b ℝ এর অন্তর্গত হয়, তাহলে a + bya·bও ℝ এর অন্তর্গত। এটি আমাদের সেটটি না রেখেই কাজ করতে দেয়, যা বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের বিকাশের জন্য অপরিহার্য।
ভ্রমণমূলক সম্পত্তি
La পরিবহন সম্পত্তি এটি বলে যে দুটি বাস্তব সংখ্যার যোগ বা গুণনের ফলাফল এটি অর্ডারের উপর নির্ভর করে না। যেখানে অপারেশনটি করা হয়। অর্থাৎ, a এবং b সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য a + b = b + aya·b = b·a। এই বৈশিষ্ট্যটি গণনা এবং রাশি লেখাকে ব্যাপকভাবে সরলীকৃত করে।
সহযোগী সম্পত্তি
La সহযোগী সম্পত্তি ইঙ্গিত দেয় যে, যোগ বা গুণ করার সময় তিন বা ততোধিক বাস্তব সংখ্যাএগুলিকে যেভাবে গোষ্ঠীবদ্ধ করা হয়েছে তা ফলাফলকে প্রভাবিত করে না। প্রতীকগুলিতে: (a + b) + c = a + (b + c) এবং (a·b)·c = a·(b·c)। এর ফলে, দীর্ঘ ক্রিয়াকলাপগুলিকে পুনর্গঠিত করা যেতে পারে যাতে সেগুলি সমাধান করা সহজ হয়।
নিরপেক্ষ উপাদান
বাস্তব সংখ্যায় দুটি আছে নিরপেক্ষ উপাদান মৌলিক:
- El শূন্য হয় নিরপেক্ষ যুতকারণ এটিকে যেকোনো বাস্তব সংখ্যার সাথে যোগ করলে এর মান পরিবর্তন হয় না: a + 0 = a।
- El ইউএনও হয় গুণক পরিচয়, যেহেতু যেকোনো বাস্তব সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে একই সংখ্যা পাওয়া যায়: a·1 = a।
যোগ এবং গুণক বিপরীত
প্রতিটি বাস্তব সংখ্যার জন্য একটি আছে বিপরীত যোগফল এবং, শূন্য বাদে, a গুণনীয় বিপরীত:
- El বিপরীত যোগফল একটি সংখ্যা a এর যোগাত্মক পরিচয় হল −a, কারণ যখন তাদের একসাথে যোগ করা হয়, তখন যোগাত্মক পরিচয় পাওয়া যায়: a + (−a) = 0।
- El গুণনীয় বিপরীত o পারস্পরিক a ≠ 0 সংখ্যার মান 1/a, যেহেতু a·(1/a) = 1।
সংখ্যারেখায় এবং দৈনন্দিন জীবনে বাস্তব সংখ্যা
প্রতিটি বাস্তব সংখ্যাকে a দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে সংখ্যারেখার উপর বিন্দুঐ রেখার প্রতিটি বিন্দু একটি অনন্য বাস্তব সংখ্যার সাথে মিলে যায়। এই এক-একের সাথে যোগাযোগ আমাদের যোগ (ডান বা বামে স্থানান্তর), বিয়োগ, অসমতা এবং দূরত্বের মতো ক্রিয়াকলাপ কল্পনা করতে সাহায্য করে।
বাস্তব সংখ্যারেখায়, সংখ্যার ক্রম তার অবস্থান দ্বারা নির্ধারিত হয়: ডানদিকে যত দূরে একটি বিন্দু হবে, সংখ্যা যত বেশি হবে যুক্ত; আরও বাম দিকে, এটি যত ছোট হবেকোন "শেষ" ধনাত্মক বা ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা নেই, কারণ সেট ℝ-তে রয়েছে উভয় দিকেই অসীম উপাদান.
দৈনন্দিন জীবনে, বাস্তব সংখ্যাগুলি ক্রমাগত ব্যবহৃত হয়: জন্য দৈর্ঘ্য পরিমাপ করুন (মিটার, সেন্টিমিটার), তাপমাত্রা প্রকাশ করুন (ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক ডিগ্রি), সময় গণনা করো, টাকা পরিচালনা করা (ব্যালেন্স, ঋণ, সুদ), সময়সূচী তুলনা করুন o তথ্য যাচাই পরিসংখ্যান এবং অর্থনীতিতে।
বৈজ্ঞানিক ও প্রযুক্তিগত ক্ষেত্রে, বাস্তব সংখ্যা হল ভিত্তি ডিফারেনশিয়াল এবং ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস, লা ধ্রুপদী এবং আধুনিক পদার্থবিদ্যা, লা ইঞ্জিনিয়ারিং, লা কম্পিউটিং এবং আরও অনেক শাখা। গতি, ত্বরণ, শক্তি, বা তীব্রতার মতো পরিমাণগুলিকে বাস্তব সংখ্যা দিয়ে প্রকাশ করা হয় এবং তাদের সঠিক পরিচালনা জটিল ঘটনার মডেলিং করার অনুমতি দেয়।
বাস্তব সংখ্যার শ্রেণীবিভাগ, তাদের উপসেট এবং বৈশিষ্ট্যগুলি বোঝা কেবল গণিত অধ্যয়নকেই সহজ করে না, বরং এটি যৌক্তিক এবং বিমূর্ত যুক্তিকে শক্তিশালী করে।এটি চিন্তাভাবনা গঠনে সাহায্য করে এবং বিভিন্ন প্রেক্ষাপটে সমস্যা সমাধানের ক্ষমতা উন্নত করে।